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          若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如圖）．
          （Ⅰ）若a=2
          		2
          ，求證：AB∥平面CDE；
          （Ⅱ）求實數(shù)a的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系，則
          A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，
          		2
          ），D（0，2，0），E（0，0，2
          		2
          ），
          ∴
          AB
          =(2，0，0)，
          DE
          =(0，-2，2
          		2
          )，
          DC
          =(1，-1，
          		2
          )          （2分）
          設(shè)平面CDE的一個法向量為
          n1
          =(x，y，z)          ，
          則有-2y+2
          		2
          z=0，x-y+
          		2
          z=0          ，
          取z=
          		2
          時，
          n1
          =(0，2，
          		2
          )          （4分）
          ∴
          AB
          •
          n1
          =0          ，又AB不在平面CDE內(nèi)，所以AB∥平面CDE；（7分）
          （Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，
          		2
          ），D（0，2，0），E（0，0，a），∴
          DE
          =(0，-2，a)，
          DC
          =(1，-1，
          		2
          )          ，
          設(shè)平面CDE的一個法向量為
          n2
          =(x，y，z)          ，則有-2y+az=0，x-y+
          		2
          z=0          ，
          取z=2時，
          n2
          =(a-2
          		2
          ，a，2)          （9分）
          又平面AEC的一個法向量為
          n3
          =(-1，1，0)          ，（10分）
          ∵二面角A-EC-D的大小為60°，∴
          n2
          •
          n3
          |
          n2
          ||
          n3
          |
          =
          1
          2
          ，
          即a2-2
          		x
          a-2=0          ，解得a=
          		2
          ±2          （13分）
          又a＞0，所以a=
          		2
          +2          ．（14分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
          		2
          ，AA1=2，如圖，
          （1）當點P在BB1上運動時（點P∈BB1，且異于B，B1）設(shè)PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
          （2）當點P是BB1的中點時，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為PA、BC的中點．
          求證：EF∥平面PCD．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點，過A、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC1Dl，且這個幾何體的體積為．
          （1）求證：OD1∥平面BA1C1
          （2）求棱A1A的長：
          （3）求點D1到平面BA1C1的距離．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點．
          （1）證明：DE∥平面PBC；
          （2）證明：DE⊥平面PAB．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          P是△ABC所在平面外一點，A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
          （1）求證：平面A′B′C′∥平面ABC；
          （2）求S△A′B′C′：S△ABC．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點．
          （1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
          （2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          已知直線l⊥平面α，有以下幾個判斷：
          ①若m⊥l，則m∥α，
          ②若m⊥α，則m∥l
          ③若m∥α，則m⊥l，
          ④若m∥l，則m⊥α，
          上述判斷中正確的是（　　）
          A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BB1=2，AB=
          		2
          ，BC=1，∠BCC1=
          π
          3

          （1）求證：C1B⊥平面ABC；
          （2）試在棱CC1（不包含端點C，C1）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB1．
          

			
          

			
          
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