如圖，邊長為a的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC上，且
，將△AED、△CFD分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點
，連結(jié)A¢B．
（Ⅰ）判斷直線EF與A¢D的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．
（Ⅰ）異面垂直;（Ⅱ）
.
解析試題分析：（Ⅰ）先證明A¢D⊥面A¢EF即可得EF與A¢D的位置關(guān)系是異面垂直；
（Ⅱ）先作出并證明ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角，再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.
試題解析：（Ⅰ）A¢D⊥EF． 1分
證明如下：因為A¢D⊥A¢E，A¢D⊥A¢F，
所以A¢D⊥面A¢EF，又EFÌ面A¢EF，
所以A¢D⊥EF．
直線EF與A¢D的位置關(guān)系是異面垂直 4分
（Ⅱ）方法一、設(shè)EF、BD相交于O，連結(jié)A¢O，作FH⊥A¢B于H，
連結(jié)OH， 因為EF⊥BD， EF⊥A¢D．
所以EF⊥面A¢BD，A¢BÌ面A¢BD， 所以A¢B⊥EF，又A¢B⊥FH，
故A¢B⊥面OFH，OHÌ面OFH， 所以A¢B⊥OH，
故ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角．
，A¢E＝A¢F＝
，EF＝
，則
，
所以，△A¢EF是直角三角形，則
，
則
，
，∴
，
，
則A¢B＝
，所以
，
所以， tanÐOHF＝
，故ÐOHF＝．
所以二面角F－A¢B－D的大小為． 12分
方法二、設(shè)EF、BD相交于O，連結(jié)A¢O，作
于G，可得A¢G⊥面BEDF，
，A¢E＝A¢F＝，EF＝，則
，
所以，△A¢EF是直角三角形，則，
則
，則，
∴，，
所以
，
，則
，
分別以BF、BE為空間直角坐標系的x、y軸，建立如圖坐標系，則
，
， 
，
，故
，
，
，
，
因
，
，故面A¢BD的一個法向量，
設(shè)面A¢BF的一法向量為
，則
取
，
設(shè)二面角F－A¢B－D的平面角為
，則
，∴
，
故二面角F－A¢B－D的大小為． 12分
考點：1.直線與平面的位置關(guān)系； 2.二面角.
高中必刷題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分別是線段CE、PB的中點．
(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求二面角
的正切值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD的中點．
（I）在平面ABC內(nèi)，試做出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1；
（II）設(shè)（I）中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
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中，
，
， 
，
，
，
.
∥
；
求四棱錐
的體積
中，
，
，D是AC的中點.
平面
；
的體積.
中，
．
平面
；
，
，當三棱錐
的長．
中，底面
是矩形，四條側(cè)棱長均相等．
平面
；
平面
中,
,
為
的中點,
為
的中點.
平面
;
平面
;
的大小為
,求
的長.
的側(cè)面積為
，若
．
與平面
所成角的大�。�