【題目】試求出最小的正整數(shù),使得同時滿足:
(1)(
對表示不大于
的最大整數(shù));
(2)被190除所得的余數(shù)為11.
【答案】
【解析】
由條件(1)可知.
否則,若,則有
,這與條件(1)矛盾.故必有
.
令(
為正整數(shù))代入條件(1)中的不等式得
,
即. ①
由于為嚴格遞增函數(shù),而
滿足式①,
不滿足式①,
所以,式①的解為.從而條件(1)中不等式的解為
.
又因99與190互質,所以,由歐拉定理得,
即. ②
引理:若,
是正整數(shù),而
是最小的正整數(shù),使得
,則必有
.
引理的證明:顯然(由
的最小性).
記(
,
,且
).
由及
,得
,
即.
再由為正整數(shù)且
為最小者及
,知只有
.于是,有
,即
.
回到原題.
由式②及引理知.所以,
.
下面求的值.
注意到,
,
,
,
,
,
,
,
所以,.
現(xiàn)有,而
,且99與190互質,所以有
.
由及上述引理,得
,即
.
再由,得
.于是,
,
.
故所求的最小正整數(shù).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市南澳縣是廣東唯一的海島縣,海區(qū)面積廣闊,發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨厚的優(yōu)勢,所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國國家地理標志產(chǎn)品,產(chǎn)量高、肉質肥、營養(yǎng)好,素有“海洋牛奶精品”的美譽.根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗,產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質量(克)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.
(1)購買10只該基地的“南澳牡蠣”,會買到質量小于20g的牡蠣的可能性有多大?
(2)2019年該基地考慮增加人工投入,現(xiàn)有以往的人工投入增量x(人)與年收益增量y(萬元)的數(shù)據(jù)如下:
人工投入增量x(人) | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
年收益增量y(萬元) | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
該基地為了預測人工投入增量為16人時的年收益增量,建立了y與x的兩個回歸模型:
模型①:由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程:;
模型②:由散點圖的樣本點分布,可以認為樣本點集中在曲線:的附近,對人工投入增量x做變換,令
,則
,且有
.
(i)根據(jù)所給的統(tǒng)計量,求模型②中y關于x的回歸方程(精確到0.1);
(ii)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預測人工投入增量為16人時的年收益增量.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 | ||
| 182.4 | 79.2 |
附:若隨機變量,則
,
;
樣本的最小二乘估計公式為:
,
另,刻畫回歸效果的相關指數(shù)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知、
、
為大于3的整數(shù),將
的立方體分割為
個單位正方體,從一角的單位正方體起第
層、第
行、第
列的單位正方體記為
.求所有有序六元數(shù)組
的個數(shù),使得一只螞蟻從
出發(fā),經(jīng)過每個小正方體恰一次到達
.(注)螞蟻可以從一個單位正方體爬到另一個與之有公共面的相鄰正方體.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線:
的左、右焦點分別為
,
為坐標原點,
是雙曲線上在第一象限內的點,直線
分別交雙曲線
左、右支于另一點
,
,且
,則雙曲線
的離心率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】農(nóng)歷戊戌年即將結束,為了迎接新年,小康、小梁、小譚、小劉、小林每人寫了一張心愿卡,設計了一個與此心愿卡對應的漂流瓶.現(xiàn)每人隨機的選擇一個漂流瓶將心愿卡放入,則事件“至少有兩張心愿卡放入對應的漂流瓶”的概率為___
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面上有12個點且任意三點不共線.以其中任意一點為始點、另一點為終點作向量且作出所有的向量,其中,三邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這12個點為頂點的零三角形個數(shù)的最大值.
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