【題目】試求出最小的正整數(shù),使得同時滿足:
(1)(
對表示不大于
的最大整數(shù));
(2)被190除所得的余數(shù)為11.
【答案】
【解析】
由條件(1)可知.
否則,若,則有
,這與條件(1)矛盾.故必有
.
令(
為正整數(shù))代入條件(1)中的不等式得
,
即. ①
由于為嚴(yán)格遞增函數(shù),而
滿足式①,
不滿足式①,
所以,式①的解為.從而條件(1)中不等式的解為
.
又因99與190互質(zhì),所以,由歐拉定理得,
即. ②
引理:若,
是正整數(shù),而
是最小的正整數(shù),使得
,則必有
.
引理的證明:顯然(由
的最小性).
記(
,
,且
).
由及
,得
,
即.
再由為正整數(shù)且
為最小者及
,知只有
.于是,有
,即
.
回到原題.
由式②及引理知.所以,
.
下面求的值.
注意到,
,
,
,
,
,
,
,
所以,.
現(xiàn)有,而
,且99與190互質(zhì),所以有
.
由及上述引理,得
,即
.
再由,得
.于是,
,
.
故所求的最小正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市南澳縣是廣東唯一的海島縣,海區(qū)面積廣闊,發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢,所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品,產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好,素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù).根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗,產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質(zhì)量(克)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.
(1)購買10只該基地的“南澳牡蠣”,會買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大?
(2)2019年該基地考慮增加人工投入,現(xiàn)有以往的人工投入增量x(人)與年收益增量y(萬元)的數(shù)據(jù)如下:
人工投入增量x(人) | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
年收益增量y(萬元) | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
該基地為了預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量,建立了y與x的兩個回歸模型:
模型①:由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程:;
模型②:由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布,可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線:的附近,對人工投入增量x做變換,令
,則
,且有
.
(i)根據(jù)所給的統(tǒng)計量,求模型②中y關(guān)于x的回歸方程(精確到0.1);
(ii)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關(guān)指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量.
回歸模型 | 模型① | 模型② |
回歸方程 | ||
| 182.4 | 79.2 |
附:若隨機(jī)變量,則
,
;
樣本的最小二乘估計公式為:
,
另,刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
1
當(dāng)
時,討論函數(shù)
的單調(diào)性;
2
當(dāng)
,
時,對任意
,
,都有
成立,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】集合,
,
.若集合
中的所有元素都能用
中不超過9個的不同元素相加表示,求
,并構(gòu)造
達(dá)到最小時對應(yīng)的一個集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、
、
為大于3的整數(shù),將
的立方體分割為
個單位正方體,從一角的單位正方體起第
層、第
行、第
列的單位正方體記為
.求所有有序六元數(shù)組
的個數(shù),使得一只螞蟻從
出發(fā),經(jīng)過每個小正方體恰一次到達(dá)
.(注)螞蟻可以從一個單位正方體爬到另一個與之有公共面的相鄰正方體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線:
的左、右焦點(diǎn)分別為
,
為坐標(biāo)原點(diǎn),
是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線
分別交雙曲線
左、右支于另一點(diǎn)
,
,且
,則雙曲線
的離心率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】農(nóng)歷戊戌年即將結(jié)束,為了迎接新年,小康、小梁、小譚、小劉、小林每人寫了一張心愿卡,設(shè)計了一個與此心愿卡對應(yīng)的漂流瓶.現(xiàn)每人隨機(jī)的選擇一個漂流瓶將心愿卡放入,則事件“至少有兩張心愿卡放入對應(yīng)的漂流瓶”的概率為___
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面上有12個點(diǎn)且任意三點(diǎn)不共線.以其中任意一點(diǎn)為始點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量且作出所有的向量,其中,三邊向量的和為零向量的三角形稱為“零三角形”.求以這12個點(diǎn)為頂點(diǎn)的零三角形個數(shù)的最大值.
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