Question

【題目】已知、、為大于3的整數(shù)，將的立方體分割為個單位正方體，從一角的單位正方體起第層、第行、第列的單位正方體記為．求所有有序六元數(shù)組的個數(shù)，使得一只螞蟻從出發(fā)，經(jīng)過每個小正方體恰一次到達.（注）螞蟻可以從一個單位正方體爬到另一個與之有公共面的相鄰正方體．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

按照國際象棋棋盤的染色規(guī)則交替地將各個單位正方體染為黑色或白色，其中，為黑色．

當(dāng)為偶數(shù)時，任兩個異色的小正方體滿足條件；當(dāng)為奇數(shù)時，任兩個黑色的小正方體滿足條件．

首先證明三個引理．

引理l （i）在立方體中，異色的兩個小正方體滿足條件；

（ii）在立方體中，黑色的兩個小正方體滿足條件．

引理l的證明 由文[1]加試第四題可證．

引理2 在立方體中，

滿足條件，其中，，即、異色．

引理2的證明 在第l層中，由引理l（i），有滿足條件，其路徑為…，

其為黑白相間的．則在立方體中，對，，用

……

代替，而不變．

【注】為同一層相鄰，為不同層相鄰．

故在立方體中，滿足條件．

引理3 在立方體中，

滿足條件，其中，，即、異色．

引理3的證明 在第l層中，由引理l（i），有（與異色）滿足條件，取第2層中與相鄰的小正方體為；類似有…，

其中，、分別為第層與、同色的小正方體

故在正方體中，滿足條件．

回到原題．

（1）為偶數(shù)．

不妨設(shè)為偶數(shù)，異色的小正方體、分別在第、層（）．

若，則將立方體按層、層、層分成三部分，在上、下兩部分應(yīng)用引理2，在中間部分應(yīng)用引理l（i）或引理3，得到在立方體中的路徑

（、同引理3）．

若，則將立方體按層、層分成兩部分，類似得在立方體中的路徑

．

若，則將立方體按層、層、層分成三部分．

在第層，由引理l（i）有…．

取，則由引理2知在上、下兩部分中分別有，滿足條件．

從而，在立方體中有路徑

………，其中，、分別為第層的小正方體

（2）為奇數(shù)．

若黑色的小正方體、在立方體的對角，則由引理l（ii），仿引理2可構(gòu)造路徑滿足條件；否則，方體有一面不含、，且、到該面的投影不同．不妨設(shè)、，其中，、，．

將立方體先按第l層、第層分成兩部分，再將后者按第行、第行分成兩部分．

因為偶數(shù)，所以，由（1）知在后兩部分內(nèi)分別有，滿足條件，其中，、為第2層中的白色小正方體．

在第l層中分別取與、相鄰的黑色小正方體，記為、．由引理1（ii）知滿足條件．

則立方體中有路徑．

故當(dāng)為奇數(shù)時，所求為； ’

當(dāng)為偶數(shù)時，所求為．