Question

【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的焦距為，直線的斜率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線（）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限.與延長線交于點(diǎn)，若的面積是面積的倍，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用橢圓的焦距和的斜率列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用“的面積是面積的倍”得到，轉(zhuǎn)化為向量，并用坐標(biāo)表示出來，求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式.聯(lián)立直線的方程和直線的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；聯(lián)立橢圓的方程和直線的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)上述求得的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式列方程，解方程求得的可能取值，驗(yàn)證點(diǎn)橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)后得到的值.

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得，

所以，，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且，

由的面積是面積的倍，可得，

所以，從而，

所以，即.

易知直線的方程為，由，消去，可得.

由方程組，消去，可得.

由，可得，

整理得，解得或.

當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.

綜上，的值為.