Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)有一個極小值點和一個極大值點，求的取值范圍；

(2)設(shè)，若存在,使得當時， 的值域是,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)有兩個極值點，得到關(guān)于的不等式組，求得實數(shù)，再作出驗算即可．

（2）求出的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于的不等式，解出即可．

試題解析：

(1) ,則

令,若函數(shù) 有兩個極值點，則方程必有兩個不等的正根，于是 解得

當時， 有兩個不相等的正實根，設(shè)為,不妨設(shè),

則.

當時， 在 上為減函數(shù)；

當時, 在上為增函數(shù)；

當時， 函數(shù)在上為減函數(shù).

由此， 是函數(shù)的極小值點， 是函數(shù)的極大值點.符合題意.

綜上，所求實數(shù)的取值范圍是

（2）

①當時， .當時， 在上為減函數(shù)；

當時， 在上為增函數(shù).

所以，當時， 的值域是.

不符合題意.

當時， .

(i)當,即時， , 當且僅當時取等號.

所以在上為減函數(shù)．從而在 上為減函數(shù)．符合題意

(ii)當,即時，當變化時， 的變化情況如下表：

		1
	-	0	+	0	-
	減函數(shù)	極小值0	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

若滿足題意，只需滿足,且 (若，不符合題意),即,

且.又,所以,此時

所以實數(shù)的取值范圍是