Question

如圖，在組合體中，ABCD—A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P—ABCD是一個四棱錐．AB=2，BC=3，點P平面CC₁D₁D，且PC=PD=．

（1）證明：PD平面PBC；
（2）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（3）若，當(dāng)a為何值時，PC//平面．

Answer 1

（1）先證，再證，根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論
（2）（3）當(dāng)時，
或建立空間直角坐標(biāo)系可以用空間向量解決

試題分析：方法一：(1)因為，，
所以為等腰直角三角形，所以． 
因為是一個長方體，所以，
而，所以，所以．
因為垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，
由線面垂直的判定定理，可得．

(2)過點在平面作于，連接．
因為，所以，
所以就是與平面所成的角．
因為，，所以．    
所以與平面所成的角的正切值為．          
(3)當(dāng)時，．           
當(dāng)時，四邊形是一個正方形，所以，
而，所以，所以． 
而，與在同一個平面內(nèi)，所以． 
而，所以，所以．
方法二：(1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長，
則有，，，．                            
于是，，，
所以，．
所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，
由線面垂直的判定定理，可得．   

(2)解：，所以，而平面的一個法向量為．
所以．所以與平面所成的角的正切值為． 
(3)解：，所以，．
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，可得平面的一個法向量為．  
若要使得，則要，即，解得．
所以當(dāng)時，．

點評：解決空間中直線、平面間的位置關(guān)系，要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，求線面角時，要注意先作再證再求，要注意線面角的取值范圍.