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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】定義在R上的函數f(x),f(0)≠0,f(1)=2,當x>0,f(x)>1,且對任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
          (1)求證:對任意x∈R,都有f(x)>0;
          (2)判斷f(x)在R上的單調性,并用定義證明;
          (3)求不等式f(3﹣2x)>4的解集.

          【答案】
          (1)證明:令a=b=0,

          則f(0)=f(0)f(0),又f(0)≠0,∴f(0)=1,

          當x<0時,﹣x>0,∴f(﹣x)>1,

          ∵f(0)=f(x)f(﹣x)=1,

          ∴f(x)= ,

          ∵f(﹣x)>1,∴0< <1,即0<f(x)<1,

          又當x>0,f(x)>1; 且f(0)=1,

          所以對任意x∈R,都有f(x)>0


          (2)解:f(x)在R上是增函數,

          證明如下:設x1<x2,

          則f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1),

          ∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1,又f(x1)>0,

          ∴f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),

          即f(x2)>f(x1),

          ∴f(x)在R上是增函數


          (3)解:∵f(2)=f(1)f(1)=4,

          ∴f(3﹣2x)>4f(3﹣2x)>f(2),

          ∵f(x)在R上是增函數,

          ∴3﹣2x>2,

          解得x<

          ∴不等式f(3﹣2x)>4的解集為(﹣∞,


          【解析】(1)先令a=b=0計算f(0)=1,當x<0時,f(x)= >0,從而得出結論;(2)設x1<x2 , 則f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),于是f(x)在R上是增函數;(3)f(2)=4,利用函數的單調性得出3﹣2x>2,解出答案.

          練習冊系列答案
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