Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=丨x+a+1丨+丨x-丨，（a＞0）。

(1)證明：f（x）≥5；

（2）若f（1）＜6成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（1,4）

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和均值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；

(2)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，然后求解絕對(duì)值不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1,4）.

試題解析：

f（x）=丨x+a+1丨+丨x-丨≥丨（x+a+1）-（x-）丨=丨a+1+丨

∵a＞0，∴f（x）≥a+1+≥2+1=5

（II）由f（1）＜6得：丨a+2丨+丨1-丨＜6

∵a＞0，∴丨1-丨＜4-a， ＜4-a

①當(dāng)a≥4時(shí)，不等式＜4-a無(wú)解；

②當(dāng)a＜4時(shí)，不等式，即＜1，a＞1，所以1＜a＜4

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1,4）