Question

【題目】已知函數(shù)，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，根據(jù)存在n∈N，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（n，n+2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得方程f′（x）＝0必有兩個(gè)不等根，等價(jià)于a在區(qū)間（n，n+2）上有兩個(gè)不等根，等價(jià)于函數(shù)y＝a與g（x）在區(qū)間（n，n+2）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

f′（x）＝aex﹣lnx﹣1，∵存在n∈N，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（n，n+2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，

∴方程f′（x）＝0必有兩個(gè)不等根，等價(jià)于a在區(qū)間（n，n+2）上有兩個(gè)不等根，

等價(jià)于函數(shù)y＝a與g（x）在區(qū)間（n，n+2）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

g′（x），

令h（x）＝1﹣x（lnx+1），h′（x）＝﹣（lnx+2）．

可得x∈（0，e﹣2）時(shí)，h′（x）＞0；x∈（e﹣2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．

∴x＝e﹣2時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值h（e﹣2）＝1+e﹣2．

又h（1）＝0，x→0+時(shí)，h（x）→1．

∴取n＝0，區(qū)間為（0，2）．

g′（1）＝0．

x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈（1，2）時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．

∴x＝1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值即最大值，g（1）．

x→0+時(shí)，g（x）→﹣∞；x＝2時(shí)，g（2）．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

故選：B．