Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間存在一個，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】

(1)求出的導(dǎo)數(shù)，令，分、、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號從而確定的單調(diào)區(qū)間；(2) 由整理得，令，設(shè)函數(shù)的零點為可得，分析的單調(diào)性從而求出最小值，根據(jù)不等式成立的充要條件即可求得a的取值范圍.

(1)，

令，，

①若即，

則二次函數(shù)開口向下且與軸無交點，

當(dāng)時，即，

函數(shù)在上單調(diào)遞減；

②若即，

當(dāng)時，開口向下且對稱軸為，

當(dāng)時，即，

函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，開口向下且對稱軸為，

當(dāng)時，即，

函數(shù)在上單調(diào)遞減；

③若即或，

方程的根為，

當(dāng)時，因為開口向下，

，

所以當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，因為，

所以當(dāng)，時，

即，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，

即，函數(shù)單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

在區(qū)間，上單調(diào)遞減.

(2)根據(jù)題意，若，

則，

化簡得，令，

，令可得即，

設(shè)函數(shù)的零點為，則，

由在單調(diào)遞增，

所以時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增，

，

所以.