Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)均在曲線外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若點(diǎn)是曲線的焦點(diǎn)，過的兩條直線關(guān)于軸對(duì)稱，且分別交曲線于，若四邊形的面積等于，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得的圓心和半徑，利用題目所給“到直線的距離等于該點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值”列方程，化簡這個(gè)方程可求得軌跡的方程.（2）設(shè)出直線的方程，代入拋物線的方程求得弦長的值.根據(jù)對(duì)稱性求得的值，利用面積公式列方程，從而求得所求直線的斜率，進(jìn)而求得直線方程.

（1）由已知得曲線是以為圓心，為半徑的圓.設(shè)，則到直線的距離等于，又到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，所以由已知可得，化簡得， 所以曲線的方程為.（2）依題意可知，直線的斜率存在，并且互為相反數(shù).設(shè)直線的方程，代入拋物線方程并化簡得，故，由弦長公式得，同理.下面求直線夾角的正弦值.設(shè)直線的傾斜角為，則，則直線夾角為，且.所以四邊形的面積為，，解得，此時(shí)直線的斜率為，根據(jù)對(duì)稱性可知.當(dāng)直線斜率為時(shí)，斜率為，也符合題意.故，所求的直線方程為.