Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)＝x²＋2x＋b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)．記過三個(gè)交點(diǎn)的圓為圓C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(與b的取值無(wú)關(guān))？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）<1且b≠0.（2）x²＋y²＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必過定點(diǎn)(－2，1)

(1)令x＝0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0，b)，令f(x)＝0，得x²＋2x＋b＝0，由題意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)設(shè)所求圓的一般方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x²＋Dx＋F＝0，這與x²＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b，令x＝0，得y²＋Ey＋b＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得E＝－b－1，所以圓C的方程為x²＋y²＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圓C必過定點(diǎn)(0，1)，(－2，1)．
證明：將(0，1)代入圓C的方程，得左邊＝0²＋1²＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右邊＝0，所以圓C必過定點(diǎn)(0，1)；同理可證圓C必過定點(diǎn)(－2，1)．