Question

【題目】設(shè)函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式對任意實數(shù)成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上有零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由f（﹣x）＝f（x），可求得k＝2．由，即，即可求得不等式的解集；

（2）由得，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值即可．

（3）原題意可轉(zhuǎn)化在上有解，即等價于在上有解.

（1）因為是偶函數(shù)，所以恒成立，

即 恒成立，也即恒成立，

所以.

由得，

解得或，即或，

所以不等式的解集為.

（2）不等式即為，即，

因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.所以，

由函數(shù)在上是增函數(shù)知的最小值為3，

所以，故實數(shù)的取值范圍是.

（3）

在上有零點(diǎn)，

即為在上有解，

因為，所以，

所以條件等價于在上有解.

令，則，令，則在上單調(diào)遞增，

因此，，.

設(shè)，任取，則，

.

若，則，所以，即在上單調(diào)遞增；

若，則，所以，即在上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)在時取得最小值，且最小值，

所以，

從而，滿足條件的實數(shù)的取值范圍是.