Question

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）判斷并證明的奇偶性；

（2）求使的的取值范圍；

（3）若，是否存在實數(shù)，使得有三個不同的零點，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）當時，；當時，；（3）.

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，并判斷關(guān)于原點對稱，再利用奇偶性的定義，得到和的關(guān)系，從而得到結(jié)論．

（2）由對數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使，需分和兩種境況討論．

（3）將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與函數(shù)圖象有3個不同的交點，通過函數(shù)圖象得到.

（1）函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，

，

函數(shù)是奇函數(shù)；

（2），即，

即，

①，等價于，等價于，由定義域知0＞．

故對，當時有．

②對，等價于，等價于．

故對，當時有．

綜上可得：當時，；當時，.

（3），

函數(shù)有3個不同的零點方程有3個不同的根，

由（1）知所以

所以，

令如圖所示：

當時，，

所以當時，函數(shù)與函數(shù)圖象有3個不同的交點，

所以當時，函數(shù)有3個不同的零點.