Question

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）判斷并證明的奇偶性；

（2）求使的的取值范圍；

（3）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）.

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，并判斷關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用奇偶性的定義，得到和的關(guān)系，從而得到結(jié)論．

（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使，需分和兩種境況討論．

（3）將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)與函數(shù)圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)圖象得到.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

，

函數(shù)是奇函數(shù)；

（2），即，

即，

①，等價(jià)于，等價(jià)于，由定義域知0＞．

故對(duì)，當(dāng)時(shí)有．

②對(duì)，等價(jià)于，等價(jià)于．

故對(duì)，當(dāng)時(shí)有．

綜上可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

（3），

函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)方程有3個(gè)不同的根，

由（1）知所以

所以，

令如圖所示：

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn).