Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-1|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤12的解集M；
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：3|a+b|≤|9+ab|．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過對(duì)自變量x取值范圍的分類討論，去掉原函數(shù)式中的絕對(duì)值符號(hào)，再解相應(yīng)的不等式，最后取并集即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M={x|-3≤x≤3}，a，b∈M，于是-3≤a≤3，-3≤b≤3，易證（9-a²）（9-b²）≥0，進(jìn)一步整理可得9（a+b）²≤（9+ab）²，開方即可證得結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|+|2x-1|≤12，
當(dāng)x≤-

1

2

時(shí)，-（2x+1）+1-2x≤12，得x≥-3，所以-3≤x≤-

1

2

；…2分
當(dāng)-

1

2

＜x＜

1

2

時(shí)，（2x+1）-（1-2x）≤12，2≤12成立，所以-

1

2

＜x＜

1

2

；.3分
當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，2x+1+2x-1≤12，解得x≤3，所以

1

2

≤x≤3；…4分
綜上，M={x|-3≤x≤3}…5分
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時(shí)，-3≤a≤3，-3≤b≤3，…6分
a²≤9，b²≤9，9-a²≥0，9-b²≥0，（9-a²）（9-b²）≥0，…7分
即9a²+9b²≤81+a²b²，9a²++18ab+9b²≤81+18ab+a²b²，…8分
9（a+b）²≤（9+ab）²，…9分
于是有3|a+b|≤|9+ab|…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查推理論證能力，屬于難題．