Question

已知F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓x²+y²=

1

4

b²相切于點(diǎn)Q，且

PQ

=

QF

，則橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)原點(diǎn)為O，左焦點(diǎn)為F′，連接OQ，則|F′P|=2|OQ|，利用Q為切點(diǎn)，可得OQ⊥PF，利用勾股定理及a²-b²=c²，即可求得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)原點(diǎn)為O，左焦點(diǎn)為F′，連接OQ  
∵O為F′F的中點(diǎn)，Q又為PF的中點(diǎn)，
∴|F′P|=2|OQ|，
∵Q為切點(diǎn)，
∴|OQ|=

1

2

b，|F′P|=b，OQ⊥PF
∴|PF|=2a-b，PF′⊥PF
∴4c²=b²+（2a-b）²
∴3b=2a
∵a²-b²=c²，
∴a2-

4

9

a2=c2，
∴e=

5

3

故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系．