Question

【題目】已知集合.

（1）求證：函數(shù)；

（2）某同學(xué)由（1）又發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)且是偶函數(shù)，于是他得出兩個(gè)命題：①集合中的元素都是周期函數(shù)；②集合中的元素都是偶函數(shù)，請(qǐng)對(duì)這兩個(gè)命題給出判斷，如果正確，請(qǐng)證明；如果不正確，請(qǐng)舉出反例；

（3）設(shè)為非零常數(shù)，求的充要條件，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）命題①正確.見解析（3）充要條件是或，見解析

【解析】

（1）通過計(jì)算證明，即可得證；

（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系代換，即可證明周期性，舉出反例不是偶函數(shù)；

（3）根據(jù)充分性和必要性分別證明或.

（1）

∴

∴

（2）命題①正確.集合中的元素都是周期函數(shù).

證明：若

則可得.

所以，從而，

所以為周期函數(shù)，命題①正確；命題②不正確.

如不是偶函數(shù)，但滿足，這是因?yàn)?/span>

∴

∴

（3）若

則，

∴

∴

∴，可得∴

∴或

當(dāng)或時(shí)

∴

所以的充要條件是或