Question

已知橢圓與雙曲線x2-

y2

3

=1有公共的焦點，且橢圓過點P（0，2）．
（1）求橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與雙曲線的漸近線平行，且與橢圓相切，求直線l的方程．

Answer 1

（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點坐標(biāo)分別為（-2，0）（2，0），
∴橢圓焦點坐標(biāo)分別為（-2，0）（2，0），∴c=2，即a²=b²+4，
又橢圓過點P（0，2），則0+

4

b2

=1，
∴b²=4，得a²=8，
∴所求橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）雙曲線漸近線方程：y=±

3

x，
設(shè)直線l：y=±

3

x+m，
代入橢圓方程得：7x²±4

3

mx+2m²-8=0，
由相切得：△=48m²-28（2m²-8）=0，解得m=±2

7

∴直線l的方程是：y=±

3

x±2

7

．