Question

【題目】已知函數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個單位，再向下平移個單位，所得的函數(shù)為奇函數(shù)．

（1）求的解析式；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)相鄰兩對稱軸間的距離求出值，由函數(shù)圖像的變換關(guān)系，求出函數(shù)，再結(jié)合是奇函數(shù)，即可求出參數(shù)；

（2）設(shè)，，原方程在區(qū)間上有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)僅有一個根，且另一個根，轉(zhuǎn)化一元二次方程根的分布求參數(shù)，或分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)與直線交點橫坐標范圍，即可求解.

解：（1）由題意知的周期，

故，

而

為奇函數(shù)，則，且

，

而，故，因此；

（2）由（1）知，題意等價于

在區(qū)間上有兩個不等實根，

令，，則題意

方程在內(nèi)僅有一個根，且另一個根．

法一：令，則題意或；

法二：顯然不是該方程的根，題意

與的圖像在內(nèi)僅有一個交點且另一個交點不為，

由于對勾函數(shù)在上單減，在上單增，

故有或，因此．