Question

【題目】設(shè)為正整數(shù)，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列定義如下： ，

（1）若，寫出，，；

（2）求證：數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是為偶數(shù)；

（3）若為奇數(shù)，是否存在滿足？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析．

【解析】

（1）時(shí)，結(jié)合條件，注意求得，，；

（2）根據(jù)與零的關(guān)系，判斷數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件；

（3）存在滿足.

（1），，．

（2）先證“充分性”．

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若為奇數(shù)，則為奇數(shù)．

因?yàn)?/span>為奇數(shù)，所以歸納可得，對(duì)，均為奇數(shù)，則，

所以，

所以數(shù)列單調(diào)遞增．

再證“必要性”．

假設(shè)存在使得為偶數(shù)，則，與數(shù)列單調(diào)遞增矛盾，

因此數(shù)列中的所有項(xiàng)都是奇數(shù)．

此時(shí)，即，所以為偶數(shù)．

（3）存在滿足，理由如下：

因?yàn)?/span>，為奇數(shù)，所以且為偶數(shù)，．

假設(shè)為奇數(shù)時(shí)， ；為偶數(shù)時(shí)，．

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且為偶數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．

所以若為奇數(shù)，則；若為偶數(shù)，則．

因此對(duì)都有．

所以正整數(shù)數(shù)列中的項(xiàng)的不同取值只有有限個(gè)，所以其中必有相等的項(xiàng)．

設(shè)集合，設(shè)集合．

因?yàn)?/span>，所以．

令是中的最小元素，下面證．

設(shè)且．

當(dāng)時(shí)，，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以．

所以若，則且，與是中的最小元素矛盾．

所以，且存在滿足，即存在滿足．