【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0),直線l交C于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)與原點(diǎn)不重合,點(diǎn)M(1,2)為線段AB的中點(diǎn).
(1)若直線l的斜率為1,求拋物線C的方程;
(2)分別過A,B兩點(diǎn)作拋物線C的切線,若兩條切線交于點(diǎn)S,證明點(diǎn)S在一條定直線上.
【答案】(1)x2=2y(2)證明見解析
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為
,代入拋物線方程,消去
,設(shè)
,
,
,
,運(yùn)用韋達(dá)定理,以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得
,即可得到所求拋物線方程;
(2)求得的導(dǎo)數(shù),可得拋物線在
,
處的切線的斜率,由點(diǎn)斜式方程和點(diǎn)
,
滿足拋物線方程,可得在
,
處的切線方程,聯(lián)立兩切線方程,相加,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可得到所求點(diǎn)
所在的定直線方程.
解:(1)設(shè)直線的方程為
,代入拋物線
,
可得,
設(shè),
,則
,
點(diǎn)為線段
的中點(diǎn),可得
,即
,
則拋物線的方程為;
(2)證明:設(shè),
,點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn),
可得,
,
由的導(dǎo)數(shù)為
,可得拋物線在
處的切線斜率為
,切線方程為
,
由,可得
,①
同理可得,②
①②可得
,
即為,即
.
可得交點(diǎn)在一條定直線
上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是( 。
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江。
B.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).
C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)
D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A在圓
:
外部且與圓
相切,同時(shí)還在圓
:
內(nèi)部與圓
相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;
(2)記(1)中求出的軌跡為,
與
軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為
、
,
是
上異于
、
的動(dòng)點(diǎn),又直線
與
軸交于點(diǎn)
,直線
、
分別交直線
于
、
兩點(diǎn),求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若T3=21,求S3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為提高學(xué)生的身體素質(zhì),實(shí)施“每天一節(jié)體育課”,并定期對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)驗(yàn)在一次體能測(cè)驗(yàn)中,某班甲、乙、丙三位同學(xué)的成績(jī)(單位:分)及班內(nèi)排名如表(假定成績(jī)均為整數(shù))現(xiàn)從該班測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)?/span>94和95的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩位,這兩位同學(xué)成績(jī)相同的概率是( )
成績(jī)/分 | 班內(nèi)排名 | |
甲 | 95 | 9 |
乙 | 94 | 11 |
丙 | 93 | 14 |
A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)f(x)=2lnx﹣ax2+3x,其中a∈R.
(1)若f(1)=2,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)若a=﹣1,正實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1)+f(x2)=0,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為正整數(shù),各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列
定義如下:
,
(1)若,寫出
,
,
;
(2)求證:數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是
為偶數(shù);
(3)若為奇數(shù),是否存在
滿足
?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形為等腰梯形,
為正方形,平面
平面
,
,
.
(1)求證:平面平面
;
(2)點(diǎn)為線段
上一動(dòng)點(diǎn),求
與平面
所成角正弦值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),其前
項(xiàng)和為
,且滿足:
,
,其中
,常數(shù)
.
(1)求證:是一個(gè)定值;
(2)若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列(存在正整數(shù)
,使得對(duì)任意
,都有
成立,則稱
為周期數(shù)列,
為它的一個(gè)周期),求該數(shù)列的最小周期;
(3)若數(shù)列是各項(xiàng)均為有理數(shù)的等差數(shù)列,
(
),問:數(shù)列
中的所有項(xiàng)是否都是數(shù)列
中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)說明理由;若不是,請(qǐng)舉出反例.
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