Question

【題目】某游戲棋盤(pán)上標(biāo)有第、、、、站，棋子開(kāi)始位于第站，選手拋擲均勻硬幣進(jìn)行游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋子所走站數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）若最終棋子落在第站，則記選手落敗，若最終棋子落在第站，則記選手獲勝.請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望；（2）見(jiàn)解析；（3）游戲不公平.

【解析】

（1）由題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、，求出相應(yīng)的概率，由此可得出隨機(jī)變量的分布列，并計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

（2）棋子要到第站，分兩種情況討論：一是由第站跳站得到，二是由第站跳站得到，可得出，變形后可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）中的的遞推公式得出和的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論.

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，

，，

，.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，；

（2）依題意，當(dāng)時(shí)，棋子要到第站，有兩種情況：

由第站跳站得到，其概率為；

可以由第站跳站得到，其概率為.

所以，.

同時(shí)減去得；

（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率為，

由于若跳到第站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.

所以，即最終棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戲不公平.