Question

【題目】已知函數(shù)（是非零實(shí)常數(shù)）滿足且方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

（1）求的值

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍

（3）在直角坐標(biāo)系中，求定點(diǎn)到函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)的距離的最小值，并求取得最小值時(shí)的值

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）當(dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值為

【解析】

（1）由可得；將化為，由方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解可確定，從而求得；

（2）將不等式化為對恒成立，分別在、和三種情況下，采用分離變量的方式求得的取值范圍，進(jìn)而得到結(jié)果；

（3）設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式可整理得，令可得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最值點(diǎn)和最值.

（1） ，即

由得：

有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解 ，解得：

（2）由（1）知：

可化為：

即對恒成立

當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然不成立，不合題意；

當(dāng)時(shí)， ，解得：；

當(dāng)時(shí)， ，解集為；

綜上所述：的取值范圍為

（3）設(shè)

則

令，則

當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)或，即或時(shí)，取得最小值，最小值為