Question

【題目】函數(shù)

（1）討論在其定義域上的單調(diào)性；

（2）設(shè)，m，n分別為的極大值和極小值，若S=m-n，求S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，在其定義域內(nèi)，解不等式和，即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，因為函數(shù)含參，注意分類討論；

（2）由題可得在內(nèi)有相異兩根，

又，可得，由此解出．

因為，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，求出其在上的值域，即可得S的取值范圍．

（1）函數(shù)定義域為 ，

，

當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在內(nèi)有相異兩根，

設(shè)，，

令所以或；令，∴；

∴在上遞增，在上遞減，在上遞增．

（2）依題意可知，在內(nèi)有相異兩根，

所以，又，可得

此時設(shè)的兩根為，∴

∵， ∴，

由，且，得．

∴

由得 代入上式得

令，所以，，

則，

∴在上為減函數(shù)，

從而，即

∴．