Question

設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且x₁＜x₂．
（1）求的取值范圍；
（2）證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；
（3）設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記，求的值．

Answer 1

（1）;（2）詳見(jiàn)解析;（3） 

試題分析：（1）根據(jù)題意圖象與軸交于，兩點(diǎn)，由零點(diǎn)的定義可得：函數(shù)的圖象要與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此函數(shù)的特征不難發(fā)現(xiàn)要對(duì)它進(jìn)行求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求函數(shù)的性質(zhì)，即：，a的正負(fù)就決定著導(dǎo)數(shù)的取值情況，故要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：分和兩種情況，其中顯然不成立，時(shí)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于零，即可求出a的范圍; （2）由圖象與軸交于，兩點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)的定義可得：整理可得：，觀察其結(jié)構(gòu)特征，可想到整體思想，即：，目標(biāo)為：，運(yùn)用整體代入化簡(jiǎn)可得：，轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)不難得到，即：，故而是單調(diào)增函數(shù)，由不等式知：，問(wèn)題可得證; （3）由題意有，化簡(jiǎn)得，而在等腰三角形ABC中，顯然只有C = 90°，這樣可得，即，結(jié)合直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，所以，即，運(yùn)用代數(shù)式知識(shí)處理可得： ，而，所以，即，所求得 
試題解析：（1）．
若，則，則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾．         2分
所以，令，則．
當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)減函數(shù)；時(shí)，，是單調(diào)增函數(shù)；
于是當(dāng)時(shí)，取得極小值．                                    4分
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，(x₁＜x₂)，
所以，即
此時(shí)，存在；
存在，
又由在及上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知為所求取值范圍.   6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240433070751027.png" style="vertical-align:middle;" /> 兩式相減得
記，則，     8分
設(shè)，則，所以是單調(diào)減函數(shù)，
則有，而，所以．
又是單調(diào)增函數(shù)，且
所以．                                           11分
（3）依題意有，則．
于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°，        13分
所以，即，
由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知，
所以，即，
所以，
即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043308416467.png" style="vertical-align:middle;" />，則，
又，所以，                    15分
即，所以                               16分