Question

【題目】如圖，已知拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點為F（0，1），過F的兩條動直線AB，CD與拋物線交出A、B、C、D四點，直線AB，CD的斜率存在且分別是k1（k1＞0），k2．

（Ⅰ）若直線BD過點（0，3），求直線AC與y軸的交點坐標

（Ⅱ）若k1﹣k2＝2，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（0，）；（Ⅱ）32．

【解析】

（Ⅰ）拋物線方程為，設，，，，，直線代入拋物線方程，當時，得，，當時，得，進而可得值為，寫出直線AC方程，令得，進而得出結論；

（Ⅱ）設，，，，，直線l的方程是，聯立拋物線方程，由韋達定理可得，，再求出點C到AB的距離d1，點D到AB的距離d2，，化簡得，設，求導，分析單調性，進而得出．

（Ⅰ）由題意可得拋物線方程為，

設直線代入拋物線方程得，

設，，，，，

當時，得，，

當時，，

所以，

直線AC方程是，

令得，

故直線AC與y軸交點坐標是；

（Ⅱ）設直線l的方程是，代入得，

設，，，，，

則，，

，

點C到AB的距離，

點D到AB的距離，

則

，

設，

則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在內最小值，

故當，時，．