Question

（2007•嘉興一模）美國(guó)藍(lán)球職業(yè)聯(lián)賽（NBA）某賽季的總決賽在湖人隊(duì)與活塞隊(duì)之間進(jìn)行，比賽采取七局四勝制，即若有一隊(duì)勝四場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝且比賽結(jié)束．因兩隊(duì)實(shí)力非常接近，在每場(chǎng)比賽中每隊(duì)獲勝是等可能的．據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，每場(chǎng)比賽組織者可獲門票收入100萬美元．求在這次總決賽過程中，
（1）比賽5局湖人隊(duì)取勝的概率；
（2）比賽組織者獲得門票收入ξ（萬美元）的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)比賽5局湖人隊(duì)取勝說明前4場(chǎng)有3場(chǎng)獲勝，第5場(chǎng)必獲勝，根據(jù)相互獨(dú)立的事件的概率公式解之即可；
（2）設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為η，則η的可能值為4，5，6，7．比之對(duì)應(yīng)的ξ的值為400，500，600，700，然后分別求出相應(yīng)的概率，列出ξ的概率分布表，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：由題意，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的概率均為

1

2

．
（1）比賽5局湖人隊(duì)取勝說明前4場(chǎng)有3場(chǎng)獲勝，第5場(chǎng)必獲勝，所以比賽5局湖人隊(duì)取勝的概率

C

3 4

(

1

2

)3×

1

2

×

1

2

=

1

8

（2）設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為η，則η的可能值為4，5，6，7．比之對(duì)應(yīng)的ξ的值為400，500，600，700．
∴P（ξ=400）=P（μ=4）=2•(

1

2

)4=

1

8

．
P(ξ=500)=P(μ=5)=2

C

3 4

(

1

2

)3×

1

2

×

1

2

=

1

4

P（ξ=600）=P（μ=6）=2

C

3 5

(

1

2

)3×(

1

2

)2×

1

2

=

5

24

=

5

16

P（ξ=700）=P（μ=7）=2

C

3 6

•(

1

2

)3×(

1

2

)3×

1

2

=

5

16

∴ξ的概率分布為

ξ	400	500	600	700
P	1 8	1 4	5 16	5 16

Eξ=581.25（萬美元）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，以及古典概型及其概率計(jì)算公式，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．