Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

（1）證明 PA∥平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD；
（3）求VB﹣EFD ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC，交BD于O，連結EO，

因為ABCD是正方形，點O是AC的中點，在三角形PAF中，EO是中位線，

所以PA∥EO，而EO面EDB，且PA面EDB，所以PA∥平面EDB

（2）證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC

在底面正方形中，DC⊥BC，

所以BC⊥面PDC，而DE面PDC，

所以BC⊥DE，

又PD=DC，E是PC的中點，所以DE⊥PC，

所以DE⊥面PBC，而PB面PBC，

所以DE⊥PB，

又EF⊥PB，且DE∩EF=E，

所以PB⊥平面EFD

（3）解：因為PD=DC=2，所以 ， ，

因為 ，所以 ，

即 ， ，

，DE= ，BF= = = ，

所以VB﹣EFD= ×DE×EF×BF= × × = ．

【解析】（1）利用線面平行的判定定理證明線面平行．（2）利用線面垂直的判定定理證明．（3）利用錐體的體積公式求體積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．