Question

（本小題滿分12分）已知圓以為圓心且經(jīng)過原點(diǎn)O．
(1) 若直線與圓交于點(diǎn)，若，求圓的方程；
(2) 在(1)的條件下，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

（1）圓方程為 ．(2) ．

試題分析：（I）利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的方程，根據(jù)線段的中垂線的性質(zhì)判斷出C，H，O三點(diǎn)共線，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出直線OC的斜率，列出關(guān)于t的方程，求出t的值．通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小的比較，判斷出直線與圓的關(guān)系是否相交．
（II）求出點(diǎn)B關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)，將已知問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱點(diǎn)到圓上的最小值問題，根據(jù)圓的幾何條件，圓外的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值等于該點(diǎn)到圓心的距離減去半徑．
解：由題知，圓方程為，
化簡得                          …1分
（1），則原點(diǎn)在的中垂線上，設(shè)的中點(diǎn)為，則．三點(diǎn)共線，則直線的斜率或，則圓心或，         …4分
所以圓方程為或，          …5分
由于當(dāng)圓方程為時(shí)，直線到圓心的距離，不滿足直線和圓相交，故舍去．
圓方程為 ．                             …6分
(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，           …7分
則，又到圓上點(diǎn)的最短距離為，
所以的最小值為，                                …10分
直線的方程為，則直線與直線的
交點(diǎn)的坐標(biāo)為．               …12分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是求圓的方程一般利用的方法是待定系數(shù)法；解決直線與圓的有關(guān)的問題常利用圓的一些幾何意義：常需要解圓心距、弦長的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形；圓外的點(diǎn)到圓上的最值常求出點(diǎn)到圓心的距離加上或減去圓的半徑