Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存過點(diǎn)（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

⑴．   ⑵y=1/2x

第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以
所以．解得。
解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得
解得，故橢圓的方程為．……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以
所以．
又，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215646705749.png" style="vertical-align:middle;" />，即，
所以．
即．
所以，解得．
因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn)，所以k=1/2．
于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x