Question

【題目】已知( ＋3x2)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求：
（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x＝1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋3)n＝22n.

又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，

∴22n－2n＝992，n＝5

∵n＝5，展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3、4兩項(xiàng)，∴T3＝ C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝ C53 ( )2(3x2)3＝

（2）

解：設(shè)展開式中第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大，

則Tr＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，

∴ ,則 ，∴r＝4，

即展開式中第5項(xiàng)系數(shù)最大，T5＝ C54 ( )(3x2)4＝405 .

【解析】本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是（1）利用賦值法求出各項(xiàng)系數(shù)和，與二項(xiàng)式系數(shù)和求出 值，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)，利用 進(jìn)行求解即可.