Question

【題目】如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)相等，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，連結(jié)，易證平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，易知直線兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，從而可證明，，進(jìn)而可證明平面；

（2）結(jié)合（1），分別求出平面、平面的法向量，然后利用空間向量法求出二面角的余弦值，進(jìn)而可求出答案.

（1）設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，連結(jié)，易知，又平面平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，易知直線兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

則，，，

因?yàn)?/span>，，所以，，即，，又，所以平面.

（2）由（1）知，，，，

則，，設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，可得，，可得平面的一個(gè)法向量，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的大小為，則，

則.