Question

【題目】已知中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且橢圓C的長(zhǎng)軸是圓的一條直徑.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與圓M交于P、Q兩點(diǎn)，且直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，列方程，再由橢圓長(zhǎng)軸是圓的直徑，判斷，即可求解；

（2）根據(jù)題意，設(shè)直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元得到關(guān)于的一元二次方程，使判別式，列出，由直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，列出方程，再代入，化簡(jiǎn)求解參數(shù)值，再根據(jù)直線與圓相交利用幾何法求解弦長(zhǎng)，并根據(jù)判別式，求解參數(shù)范圍，代入，即可求取值范圍.

（1）設(shè)橢圓方程為，

由已知，得，

由橢圓C的長(zhǎng)軸是圓的一條直徑，得，則.

得橢圓方程為.

（2）設(shè)，

聯(lián)立方程，得，

，

設(shè)，，則，（*）

因?yàn)橹本�OA、AB、OB的斜率成等比數(shù)列，得

，將（*）式代入，得

，因?yàn)?/span>，則，得，

由OA、OB的斜率存在，及，得

，得，且，

設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則，

，因?yàn)?/span>，且，

故.