Question

【題目】如圖， 為半圓 的直徑，點(diǎn) 是半圓弧上的兩點(diǎn)， ， ．曲線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且曲線 上任意點(diǎn) 滿足： 為定值.

（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線 與曲線 交于不同的兩點(diǎn) ，求 面積最大時(shí)的直線 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，曲線 是以 為焦點(diǎn)的橢圓，其中 ， .
，

， ，曲線 的方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線 的斜率為 ，則 .
由 得 ，
，
，
又 點(diǎn) 到直線 的距離 ， 的面積 .
令 ，則 .
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)， 面積取最大值 .
此時(shí)直線 的方程為 或 ．
【解析】(1)由條件先求出c,再由定義求出a,從而 求出橢圓的方程;
(2)設(shè)出過(guò)點(diǎn)D的直線的方程,代入到橢圓方程中,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式將三角形的面積表示為關(guān)于k的函數(shù)式,由均值不等式求最值.