Question

【題目】如圖，四棱錐，四邊形為平行四邊形，，，，，，，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）利用中位線的性質(zhì)得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

（2）推導(dǎo)出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可得出平面，最后利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）四邊形為平行四邊形，，為中點(diǎn)，

為中點(diǎn)，，

平面，平面，平面；

（2）四邊形為平行四邊形，，為、中點(diǎn)，

，，，，

，平面，

平面，，

又，，平面，

平面，平面平面；

（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、分別為軸、軸，過(guò)且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，，，

，，，，

、、、，

，，，

設(shè)平面和平面的法向量分別為，，

由，得，令，可得，

由，得，令，可得，

，

由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，它的余弦值為.