Question

【題目】在平面直角坐標系中,過點的直線與拋物線相交于兩點,.

（1）求證:為定值；

（2）是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求該直線方程和弦長；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)出過點的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去未知數(shù)，由根與系數(shù)關(guān)系可得為定值；（Ⅱ）先設(shè)存在直線：滿足條件，求出以為直徑的圓的圓心坐標和半徑，利用勾股定理求出弦長表達式，由表達式可知，當時，弦長為定值.

試題解析：（Ⅰ）（解法1）當直線垂直于軸時，,

因此（定值）,

當直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為

由得

因此有為定值

（解法2）設(shè)直線的方程為

由得

因此有為定值.

（Ⅱ）設(shè)存在直線：滿足條件，則

的中點，

因此以為直徑的圓的半徑

又點到直線的距離

所以所截弦長為

當即時，弦長為定值2，這時直線方程為.