Question

【題目】已知橢圓的一個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問，是否存在軸上的點(diǎn)，使得對任意的，為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)使得為定值.

【解析】

試題（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則本題中有，已知三角形的面積為4，說明，這樣可以求得；（2）存在性命題的解法都是假設(shè)存在，然后想辦法求出.下面就是想法列出關(guān)于的方程，本題是直線與橢圓相交問題，一般方法是設(shè)交點(diǎn)為，把直線方程代入橢圓方程交化簡為，則有，，而，就可用表示，這個值為定值，即與無關(guān)，分析此式可得出結(jié)論．．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的短半軸為，半焦距為，

則，由得，

由解得,則橢圓方程為. （6分）

（2）由得

設(shè)由韋達(dá)定理得：

=

==， （10分）

當(dāng)，即時，為定值，所以，存在點(diǎn)使得為定值（14分）．