Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足:

(1)證明：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.

(2)設(shè)，若數(shù)列是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè) 記數(shù)列的前項和為，若對任意的存在實(shí)數(shù),使得,求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1） 證明過程見解析 （2） （3）

【解析】

（1）由，再得出，兩式作差，得出，，再分奇數(shù)項，偶數(shù)項分別求通項公式即可得解；

（2）由等差數(shù)列的等差中項可得恒成立，可得，解得;

（3）由已知有，由裂項求和法求數(shù)列前項和得，由分離變量最值法可得，運(yùn)算即可得解.

解：（1）因?yàn)?/span>，①

所以，②

②-①得：，

由易得，即，

即，，

即數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，4為公比的等比數(shù)列，

當(dāng)為奇數(shù)時，，

當(dāng)為偶數(shù)時，，

綜上可得，

又，

故是等比數(shù)列，且數(shù)列的通項公式.

(2)因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，

所以恒成立，

即有恒成立，

即，

解得;

(3)因?yàn)?/span>=，

即，

又對任意的存在實(shí)數(shù),使得,

即對任意的 恒成立，

又當(dāng)時，取最小值3，時，，

即,

故實(shí)數(shù)的最大值為.