Question

【題目】一袋中有大小、形狀相同的2個(gè)白球和10個(gè)黑球，從中任取一球．如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該球不再放回，另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中．在重復(fù)次這樣的操作后，記袋中的白球個(gè)數(shù)為．

（1）求；

（2）設(shè)，求；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)的取值以及概率，即可容易求得數(shù)學(xué)期望；

（2）求得當(dāng)時(shí)，以及時(shí)的概率，則問題得解；

（3）對第次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為第次取出來的是白球，或者黑球進(jìn)行討論，即可證明.

（1）∵或，

∴，，

∴．

（2）∵當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，第次取出來有個(gè)白球的可能性有兩種：

第次袋中有個(gè)白球，顯然每次取出球后，球的總數(shù)保持不變，

即袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球，第次取出來的也是白球的概率為；

第次袋中有個(gè)白球，第次取出來的是黑球，由于每次總數(shù)為12個(gè)，

故此時(shí)黑球數(shù)為個(gè)，這種情況發(fā)生的概率為；

∴，

∴綜上可知，

（3）∵第次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類情況：

第次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，由于白球和黑球的總數(shù)為12，

第次取出來的是白球的概率為，

第次取出來的是黑球的概率為，此時(shí)白球的個(gè)數(shù)為，

∴

即．