Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.

(1) 證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2) 記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析，； （2）.

【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：n＝1時(shí)，a1＝S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，計(jì)算可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），

由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求；

（2），運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可

（1）證明：（n∈N*），

可得n＝1時(shí)，a1＝S1+1＝2a1，

即a1＝1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1，

Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，

相減可得an+1＝2an﹣2an﹣1，

可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），

則數(shù)列{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，

可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1；

（2）

前n項(xiàng)和為Tn＝①

2Tn＝②

① ②相減可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣=

化簡可得