Question

【題目】如圖所示,已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一定點(diǎn),直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ),且與拋物線(xiàn)另交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離；

(2)求證：直線(xiàn)的斜率為定值．

Answer 1

【答案】(1)5；(2)

【解析】

（1）把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求出點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離；

（2）設(shè)出直線(xiàn)MA的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得出A 的縱坐標(biāo)，同理得出B的縱坐標(biāo)，由已知條件結(jié)合點(diǎn)差法推導(dǎo)出AB的斜率表達(dá)式，把A，B的坐標(biāo)代入，由此能證明直線(xiàn)AB的斜率為定值．

（1）∵M（a，4）是拋物線(xiàn)y2＝4x上一定點(diǎn)，∴42＝4a，a＝4，

∵拋物線(xiàn)y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝﹣1，故點(diǎn)M到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5；

（2）由題知直線(xiàn)MA、MB的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)MA的方程為：y﹣4＝k（x﹣4）；

聯(lián)立，設(shè)，，

，即，

∵直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，∴直線(xiàn)MB的方程為：，

同理可得：，由A，B兩點(diǎn)都在拋物線(xiàn)y2＝4x上，∴ ，，

，

∴直線(xiàn)AB的斜率為定值.