Question

【題目】已知函數(shù).

⑴當，求函數(shù)在區(qū)間上的極值；

⑵當時，函數(shù)只有一個零點，求正數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1） 在區(qū)間上只有極大值，無極小值，且； （2）.

【解析】

試題分析：（1）當時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間研究導(dǎo)數(shù)的符號及函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的極值；（2）函數(shù)只有一個零點，等價于方程只有一個實數(shù)解，即只有唯一正實數(shù)解,構(gòu)造函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求的值.

試題解析： （1）當時，，

由得，

當時，上單調(diào)遞增，

當時，上單調(diào)遞減，

上只有極大值，無極小值，且

（2）只有一個零點，等價于方程只有一個實數(shù)解，即只有唯一正實數(shù)解.設(shè)，則，令，解得：…7分

當時，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增；

.

要使得方程只有唯一實數(shù)解，

則，得

，

設(shè)恒成立，故在（0，+∞）單調(diào)遞增，至多有一解．又，

∴，即解得．