Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）是偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=1-x，則方程f（x）=

1

-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：常規(guī)題型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)滿足f（2+x）=f（2-x），得到函數(shù)圖象關(guān)于x=2對稱，再結(jié)合奇偶性推出函數(shù)的周期性，然后把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題解決．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）（x∈R）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）…①
∵f（2+x）=f（2-x）…②
∴f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，
由①②得，f（x）=f（x+4）
所以函數(shù)的周期為4，
∵畫出函數(shù)f（x）和函數(shù)y=

1

-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的大致圖象，
方程f（x）=

1

-|x|

在區(qū)間[-10，10]上的解的個數(shù)就是這兩個圖象的交點個數(shù)，
所以由圖象可知方程解的個數(shù)為10，
故答案為：10．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和單調(diào)性，關(guān)鍵是把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩圖象的交點個數(shù)．考查了數(shù)形結(jié)合的思想．