Question

如圖所示，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，已知AB=2，AF=

2

．
（I）求證：EO⊥平面BDF；
（II）求二面角A-DF-B的大�。�

Answer 1

證明：（I）如圖，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，對(duì)角線BD⊥AC，故有BD⊥平面ACEF，又EO?平面ACEF，故得BD⊥EO
又AB=2，AF=

2

．可求得AC=2

2

，即CO=AO=AF=CE=

2

，由于三角形ECO與三角形FAO都是直角三角形，故可得∠EOC=∠FOA=45°，所以∠EOF=90°，即EO⊥OF
又FO∩BD=O，故有EO⊥平面BDF
（II）過O作OP⊥AD于P，過P作PM⊥DF于M，連接OM，
由題設(shè)條件知F-AD-O是直二面角，故可得OP⊥面ADF，由此可得OP⊥DF，由作圖，PM⊥DF，故有DF⊥面OMP，所以O(shè)M⊥DF，由此可證得∠OMP即二面角的平面角，
在直線三角形DOA中，由于OA=OD，故P是AD中點(diǎn)，易得OP=1
在直角三角形DAF中可求得DF=

6

，由P是中點(diǎn)得DP=1，
由于△DAF≈△DMP，故有

DP

DF

=

MP

AF

得MP=

DP×AF

DF

=

1× 2

6

=

3

3

在直角三角形OPM中，tan∠OMP=

OP

MP

=

1

3 3

=

3

二面角A-DF-B的大小為60°