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          如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=
          		3
          AD，
          （1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；
          （2）求二面角A-SB-D的大�。�
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A
          ∴SD⊥平面ABCD，
          又∵SD⊆平面SBD，
          ∴平面SDB⊥平面ABCD．…（5分）
          （2）由題可知DS、DA、DC兩兩互相垂直．
          如圖建立空間直角坐標系D-xyz
          設AD=a，則S（
          		3
          a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）
          ∵
          DS
          =（
          		3
          a，0，0），
          DB
          =（0，a，2a），…（7分）
          設面SBD的一個法向量為
          n
          =（x，y，-1）
          則
          n
          •
          DS
          =0
          n
          •
          DB
          =0
          ，即
          		3
          ax=0
          ay-2az=0

          解得
          n
          =（0，2，-1）…（8分）
          又∵
          AB
          =（0，0，2a），
          SA
          =（-
          		3
          a，a，0），
          設面SAB的一個法向量為
          m
          =（1，y，z），
          則
          m
          •
          AB
          =0
          m
          •
          SA
          =0
          ，即
          2az=0
          -
          		3
          a+ay=0

          解出
          m
          =（1，
          		3
          ，0），…（10分）
          cos＜
          m
          ，
          n
          ＞=
          m
          •
          n
          |
          m
          |•|
          n
          |
          =
          		15
          15

          故所求的二面角為arccos
          		15
          15
          …（12分）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為
          		3
          3
          ，M是AC的中點，則EM，DE所成角的余弦值等于______．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          如圖，四面體A-BCD的四個面全等，且AB=AC=2
          		3
          ，BC=4，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小為（　�。�
          A．arccos
          1
          3
          		B．arccos
          		3
          3
          		C．
          π
          2
          		D．
          2π
          3

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          三棱錐P-ABC的兩側面PAB，PBC都是邊長為2的正三角形，AC=
          		3
          ，則二面角A-PB-C的大小為______．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
          （Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
          （Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
          （Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=
          1
          2
          AB          ，P是BC的中點．
          （Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
          （Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點F是PB的中點，點E在矩形ABCD的邊BC上移動．
          （Ⅰ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；
          （Ⅱ）當CE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕，將△ABC折成二面角C-AD-B等于______時，在折成的圖形中，△ABC為等邊三角形．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：填空題
			
          

						
          邊長為4的正四面體P-ABC中，E為PA的中點，則平面EBC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為______．
          

			
          

			
          
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