Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（1，0），A，B是拋物線上位于x軸兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，且 =﹣4（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求拋物線方程；
（2）證明：直線AB過定點(diǎn)T；
（3）過點(diǎn)T作AB的垂線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，求四邊形AMBN的面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（1，0），可得p=2，

拋物線方程為y2=4x

（2）證明：設(shè)lAB：x=my+t與拋物線y2=4x聯(lián)系得：y2﹣4my﹣4t=0

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 （*）

∴ ，由 得：x1x2+y1y2=﹣4即t2﹣4t+4=0，

∴t=2，∴l(xiāng)AB：x=my+2，故直線AB過定點(diǎn)T（2，0）

法2：設(shè) ， ，由 ∴ ，

又有 ，

∴ ，

令y=0得 ，

所以直線AB過定點(diǎn)T（2，0）

（3）解：當(dāng)t=2時(shí)，由（*）得： ，

同理有 ，從而 ，

∴

=

= ，

令 ，

則： ，

易知（2+u）（5+2u）隨著u增加單調(diào)遞增，

故當(dāng)u=2即m2=1時(shí)∴ min=48

【解析】（1）求出p即可求解拋物線方程．（2）設(shè)lAB：x=my+t與拋物線y2=4x聯(lián)系得：y2﹣4my﹣4t=0，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韋達(dá)定理以及判別式通過 得lAB：x=my+2，得到直線AB過定點(diǎn)T（2，0）．
法2：設(shè) ， ，由 ，求解直線方程，然后求解定點(diǎn)坐標(biāo)．（3）當(dāng)t=2時(shí)，由（*）得弦長|AB|，求出|MN|，表示三角形的面積，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解三角形面積的最值．