Question

已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件0≤a+c-2b≤1，且2^a+2^b≤2^1+c，則

2a-2b

2c

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想

分析：由2^a+2^b≤2^1+c，得2^a-c+2^b-c≤2，由0≤a+c-2b≤1得0≤（a-c）-2（b-c）≤1，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到1≤2^{（a-c）-2（b-c）}≤2，再令x=2^b-c，y=2^a-c，即可得到x+y≤2，x²≤y≤2x²，x＞0，y＞0，則求

2a-2b

2c

的范圍可轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)t=y-x的范圍．然后利用線性規(guī)劃知識(shí)求解．

解答： 解：由2^a+2^b≤2^1+c，得2^a-c+2^b-c≤2，
由0≤a+c-2b≤1，得0≤（a-c）-2（b-c）≤1，
于是有1≤2^{（a-c）-2（b-c）}≤2，
即1≤

2a-c

22(b-c)

≤2．設(shè)x=2^b-c，y=2^a-c，
則有x+y≤2，x²≤y≤2x²，x＞0，y＞0，

2a-2b

2c

=y-x．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中作出點(diǎn)（x，y）所表示的平面區(qū)域，并設(shè)y-x=t．
如圖，

當(dāng)直線y-x=t與曲線y=x²相切時(shí)，t最小．
此時(shí)令y′=2x=1，解得x=

1

2

，于是y=

1

4

，
∴t_min=

1

4

-

1

2

=-

1

4

．
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，t最大．
由

y=2x2 x+y=2

，解得A（

-1+ 17

4

，

9- 17

4

），
∴t_max=

9- 17

4

-

-1+ 17

4

=

5- 17

2

．
因此

2a-2b

2c

的取值范圍是[-

1

4

，

5- 17

2

]．
故答案為：[-

1

4

，

5- 17

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題含三個(gè)變量，解題時(shí)要注意通過(guò)換元減少變量的個(gè)數(shù)．利用消元、換元等方法進(jìn)行減元的思想是近年高考填空題中難點(diǎn)和熱點(diǎn)，對(duì)于層次很好的學(xué)生值得關(guān)注．該題屬難題．