Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的極值；

（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極大值，無極小值；（Ⅱ）

【解析】

【試題分析】（1）先對函數(shù)，求導(dǎo)，再分和兩種情形討論導(dǎo)函數(shù)值（）的符號，進而判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值；（2）先將原不等式等價轉(zhuǎn)化為，進而構(gòu)造函數(shù)（），將問題轉(zhuǎn)化為求出.然后借助題設(shè)條件先對函數(shù)（）求導(dǎo)，再對實數(shù)分類運用導(dǎo)數(shù)的知識求出=0，進而確定所求實數(shù)的取值范圍。

解：（Ⅰ）依題意（），

①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，無極值；

②當(dāng)時，，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；

所以，無極小值.

綜上可知，當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極大值，無極小值.

（Ⅱ）原不等式可化為 ，

記（），只需.

可得.

（1）當(dāng)時，，，所以，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，不合題意，舍去.

（2）當(dāng)時，，

①當(dāng)時，因為，所以，所以，

所以在上單調(diào)遞減.

故當(dāng)時，，符合題意.

②當(dāng)時，記（），

所以，在上單調(diào)遞減.

又，，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時，，

從而，即在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，不符合要求，舍去.

綜上可得，.