Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若函數(shù)在上有唯一零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；

（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可。

（1）的定義域為，∵，

當(dāng)時，，為減函數(shù)；

當(dāng)時，，為增函數(shù)，

∴有極小值，無極大值，

故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；

（2）函數(shù)在上有唯一零點，即當(dāng)時，方程有唯一解，

∴有唯一解，令，則

令，則，

當(dāng)時，，故函數(shù)為增函數(shù)，

又，，

∴在上存在唯一零點，則，且，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，∴在上有最小值.ly，∴.